แก้โจทย์ {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 5

$$5x-30=y-6$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5x-30-y=-6$$

เพิ่ม 30 ไปทั้งสองด้าน

$$5x-y=-6+30$$

เพิ่ม -6 และ 30 เพื่อให้ได้รับ 24

$$5x-y=24$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+18=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x+18-y=0$$

ลบ 18 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2x-y=-18$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-y=24$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=y+24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย y+24

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

ทดแทน \frac{24+y}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=-18

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

คูณ 2 ด้วย \frac{24+y}{5}

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

เพิ่ม \frac{2y}{5} ไปยัง -y

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

ลบ \frac{48}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=46$$

ทดแทน 46 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 46

$$x=\frac{46+24}{5}$$

เพิ่ม \frac{24}{5} ไปยัง \frac{46}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=14,y=46$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 5

$$5x-30=y-6$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5x-30-y=-6$$

เพิ่ม 30 ไปทั้งสองด้าน

$$5x-y=-6+30$$

เพิ่ม -6 และ 30 เพื่อให้ได้รับ 24

$$5x-y=24$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+18=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x+18-y=0$$

ลบ 18 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2x-y=-18$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=14,y=46$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 5

$$5x-30=y-6$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5x-30-y=-6$$

เพิ่ม 30 ไปทั้งสองด้าน

$$5x-y=-6+30$$

เพิ่ม -6 และ 30 เพื่อให้ได้รับ 24

$$5x-y=24$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+18=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x+18-y=0$$

ลบ 18 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2x-y=-18$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

ลบ 2x-y=-18 จาก 5x-y=24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-2x-y+y=24+18$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5x-2x=24+18$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -2x

$$3x=24+18$$

เพิ่ม 24 ไปยัง 18

$$3x=42$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=14$$

ทดแทน 14 สำหรับ x ใน 2x-y=-18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2\times 14-y=-18$$

คูณ 2 ด้วย 14

$$28-y=-18$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-46$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=46$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=14,y=46$$