แก้โจทย์ {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-3y+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x-3y=-9$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3y-9$$

ทดแทน -9+3y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-2y+1=0

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

คูณ 3 ด้วย -9+3y

$$9y-27-2y+1=0$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -2y

$$7y-27+1=0$$

เพิ่ม -27 ไปยัง 1

$$7y-26=0$$

เพิ่ม 26 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=26$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=\frac{26}{7}$$

ทดแทน \frac{26}{7} สำหรับ y ใน x=3y-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

คูณ 3 ด้วย \frac{26}{7}

$$x=\frac{78}{7}-9$$

เพิ่ม -9 ไปยัง \frac{78}{7}

$$x=\frac{15}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

เพื่อทำให้ x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

ลบ 3x-2y+1=0 จาก 3x-9y+27=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y+2y+27-1=0$$

เพิ่ม -9y ไปยัง 2y

$$-7y+27-1=0$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -1

$$-7y+26=0$$

ลบ 26 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=-26$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=\frac{26}{7}$$

ทดแทน \frac{26}{7} สำหรับ y ใน 3x-2y+1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

คูณ -2 ด้วย \frac{26}{7}

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

เพิ่ม -\frac{52}{7} ไปยัง 1

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

เพิ่ม \frac{45}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{45}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{15}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$