แก้โจทย์ {l}{x=3y-5}{2x+12y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 3 y - 5 } \\ { 2 x + 12 y = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-3y=-5,2x+12y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-3y=-5$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3y-5$$

ทดแทน 3y-5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+12y=-4

$$2\left(3y-5\right)+12y=-4$$

คูณ 2 ด้วย 3y-5

$$6y-10+12y=-4$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 12y

$$18y-10=-4$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$18y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$y=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ y ใน x=3y-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\times \frac{1}{3}-5$$

คูณ 3 ด้วย \frac{1}{3}

$$x=1-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 1

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-3y=-5,2x+12y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{12-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{12-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{12-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{6}\left(-4\right)\\-\frac{1}{9}\left(-5\right)+\frac{1}{18}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-3y=-5,2x+12y=-4$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\left(-3\right)y=2\left(-5\right),2x+12y=-4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-6y=-10,2x+12y=-4$$

ลบ 2x+12y=-4 จาก 2x-6y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-6y-12y=-10+4$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y-12y=-10+4$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -12y

$$-18y=-10+4$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 4

$$-18y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18

$$y=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ y ใน 2x+12y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+12\times \frac{1}{3}=-4$$

คูณ 12 ด้วย \frac{1}{3}

$$2x+4=-4$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$