แก้โจทย์ {l}{x=3y(-10)}{y=x/3(-10)}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 3 y ( - 10 ) } \\ { y = \frac { x } { 3 } ( - 10 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณ 3 และ -10 เพื่อรับ -30

$$x=-30y$$

ทดแทน -30y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 10x+3y=0

$$10\left(-30\right)y+3y=0$$

คูณ 10 ด้วย -30y

$$-300y+3y=0$$

เพิ่ม -300y ไปยัง 3y

$$-297y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -297

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-30y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณ 3 และ -10 เพื่อรับ -30

$$x=-30y$$

เพิ่ม 30y ไปทั้งสองด้าน

$$x+30y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง แสดง \frac{x}{3}\left(-10\right) เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$y=\frac{-x\times 10}{3}$$

คูณ -1 และ 10 เพื่อรับ -10

$$y=\frac{-10x}{3}$$

ลบ \frac{-10x}{3} จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{-10x}{3}=0$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y+10x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+30y=0,10x+3y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-30\times 10}&-\frac{30}{3-30\times 10}\\-\frac{10}{3-30\times 10}&\frac{1}{3-30\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{99}&\frac{10}{99}\\\frac{10}{297}&-\frac{1}{297}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณ 3 และ -10 เพื่อรับ -30

$$x=-30y$$

เพิ่ม 30y ไปทั้งสองด้าน

$$x+30y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง แสดง \frac{x}{3}\left(-10\right) เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$y=\frac{-x\times 10}{3}$$

คูณ -1 และ 10 เพื่อรับ -10

$$y=\frac{-10x}{3}$$

ลบ \frac{-10x}{3} จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{-10x}{3}=0$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y+10x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+30y=0,10x+3y=0$$

เพื่อทำให้ x และ 10x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$10x+10\times 30y=0,10x+3y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+300y=0,10x+3y=0$$

ลบ 10x+3y=0 จาก 10x+300y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+300y-3y=0$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$300y-3y=0$$

เพิ่ม 300y ไปยัง -3y

$$297y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 297

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 10x+3y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$10x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=0$$