แก้โจทย์ {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=74$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+74$$

ทดแทน -y+74 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 40x+60y=3660

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

คูณ 40 ด้วย -y+74

$$-40y+2960+60y=3660$$

เพิ่ม -40y ไปยัง 60y

$$20y+2960=3660$$

ลบ 2960 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$20y=700$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$y=35$$

ทดแทน 35 สำหรับ y ใน x=-y+74 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-35+74$$

เพิ่ม 74 ไปยัง -35

$$x=39$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=39,y=35$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=39,y=35$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

เพื่อทำให้ x และ 40x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 40 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

ลบ 40x+60y=3660 จาก 40x+40y=2960 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

เพิ่ม 40x ไปยัง -40x ตัดพจน์ 40x และ -40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$40y-60y=2960-3660$$

เพิ่ม 40y ไปยัง -60y

$$-20y=2960-3660$$

เพิ่ม 2960 ไปยัง -3660

$$-20y=-700$$

หารทั้งสองข้างด้วย -20

$$y=35$$

ทดแทน 35 สำหรับ y ใน 40x+60y=3660 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$40x+60\times 35=3660$$

คูณ 60 ด้วย 35

$$40x+2100=3660$$

ลบ 2100 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$40x=1560$$

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$x=39$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=39,y=35$$