แก้โจทย์ {l}{x+y=69}{2x+y=81}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 81 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=12$$

$$y=57$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=69,2x+y=81$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=69$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+69$$

ทดแทน -y+69 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=81

$$2\left(-y+69\right)+y=81$$

คูณ 2 ด้วย -y+69

$$-2y+138+y=81$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y+138=81$$

ลบ 138 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-57$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=57$$

ทดแทน 57 สำหรับ y ใน x=-y+69 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-57+69$$

เพิ่ม 69 ไปยัง -57

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=57$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=69,2x+y=81$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+81\\2\times 69-81\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\57\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=12,y=57$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=69,2x+y=81$$

ลบ 2x+y=81 จาก x+y=69 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2x+y-y=69-81$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x-2x=69-81$$

เพิ่ม x ไปยัง -2x

$$-x=69-81$$

เพิ่ม 69 ไปยัง -81

$$-x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ x ใน 2x+y=81 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2\times 12+y=81$$

คูณ 2 ด้วย 12

$$24+y=81$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=57$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=57$$