แก้โจทย์ {l}{x+y=60}{25x+30y=1675}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 60 } \\ { 25 x + 30 y = 1675 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=25$$

$$y=35$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=60,25x+30y=1675$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=60$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+60$$

ทดแทน -y+60 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 25x+30y=1675

$$25\left(-y+60\right)+30y=1675$$

คูณ 25 ด้วย -y+60

$$-25y+1500+30y=1675$$

เพิ่ม -25y ไปยัง 30y

$$5y+1500=1675$$

ลบ 1500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=175$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=35$$

ทดแทน 35 สำหรับ y ใน x=-y+60 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-35+60$$

เพิ่ม 60 ไปยัง -35

$$x=25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=25,y=35$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=60,25x+30y=1675$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\1675\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1675\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1675\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1675\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30-25}&-\frac{1}{30-25}\\-\frac{25}{30-25}&\frac{1}{30-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\1675\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{5}\\-5&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\1675\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 60-\frac{1}{5}\times 1675\\-5\times 60+\frac{1}{5}\times 1675\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\35\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=25,y=35$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=60,25x+30y=1675$$

เพื่อทำให้ x และ 25x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 25 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$25x+25y=25\times 60,25x+30y=1675$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$25x+25y=1500,25x+30y=1675$$

ลบ 25x+30y=1675 จาก 25x+25y=1500 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$25x-25x+25y-30y=1500-1675$$

เพิ่ม 25x ไปยัง -25x ตัดพจน์ 25x และ -25x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y-30y=1500-1675$$

เพิ่ม 25y ไปยัง -30y

$$-5y=1500-1675$$

เพิ่ม 1500 ไปยัง -1675

$$-5y=-175$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=35$$

ทดแทน 35 สำหรับ y ใน 25x+30y=1675 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$25x+30\times 35=1675$$

คูณ 30 ด้วย 35

$$25x+1050=1675$$

ลบ 1050 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x=625$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=25,y=35$$