แก้โจทย์ {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=500$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+500$$

ทดแทน -y+500 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 25x+35y=1450

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

คูณ 25 ด้วย -y+500

$$-25y+12500+35y=1450$$

เพิ่ม -25y ไปยัง 35y

$$10y+12500=1450$$

ลบ 12500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10y=-11050$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-1105$$

ทดแทน -1105 สำหรับ y ใน x=-y+500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

คูณ -1 ด้วย -1105

$$x=1105+500$$

เพิ่ม 500 ไปยัง 1105

$$x=1605$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1605,y=-1105$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1605,y=-1105$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

เพื่อทำให้ x และ 25x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 25 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

ลบ 25x+35y=1450 จาก 25x+25y=12500 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

เพิ่ม 25x ไปยัง -25x ตัดพจน์ 25x และ -25x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y-35y=12500-1450$$

เพิ่ม 25y ไปยัง -35y

$$-10y=12500-1450$$

เพิ่ม 12500 ไปยัง -1450

$$-10y=11050$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=-1105$$

ทดแทน -1105 สำหรับ y ใน 25x+35y=1450 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

คูณ 35 ด้วย -1105

$$25x-38675=1450$$

เพิ่ม 38675 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$25x=40125$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=1605$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1605,y=-1105$$