แก้โจทย์ {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=250$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+250$$

ทดแทน -y+250 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

คูณ \frac{1}{19} ด้วย -y+250

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

เพิ่ม -\frac{y}{19} ไปยัง \frac{y}{10}

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

ลบ \frac{250}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{190} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{370}{3}$$

ทดแทน \frac{370}{3} สำหรับ y ใน x=-y+250 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

เพิ่ม 250 ไปยัง -\frac{370}{3}

$$x=\frac{380}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{x}{19} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{19} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

ลบ \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 จาก \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

เพิ่ม \frac{x}{19} ไปยัง -\frac{x}{19} ตัดพจน์ \frac{x}{19} และ -\frac{x}{19} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

เพิ่ม \frac{y}{19} ไปยัง -\frac{y}{10}

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

เพิ่ม \frac{250}{19} ไปยัง -19

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{190} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{370}{3}$$

ทดแทน \frac{370}{3} สำหรับ y ใน \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

คูณ \frac{1}{10} ครั้ง \frac{370}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

ลบ \frac{37}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 19

$$x=\frac{380}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$