แก้โจทย์ {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=240$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+240$$

ทดแทน -y+240 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.12x+0.06y=19.2

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

คูณ 0.12 ด้วย -y+240

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

เพิ่ม -\frac{3y}{25} ไปยัง \frac{3y}{50}

$$-0.06y+28.8=19.2$$

ลบ 28.8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.06y=-9.6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.06 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=160$$

ทดแทน 160 สำหรับ y ใน x=-y+240 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-160+240$$

เพิ่ม 240 ไปยัง -160

$$x=80$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=80,y=160$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=80,y=160$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{3x}{25} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

ลบ 0.12x+0.06y=19.2 จาก 0.12x+0.12y=28.8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

เพิ่ม \frac{3x}{25} ไปยัง -\frac{3x}{25} ตัดพจน์ \frac{3x}{25} และ -\frac{3x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

เพิ่ม \frac{3y}{25} ไปยัง -\frac{3y}{50}

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

เพิ่ม 28.8 ไปยัง -19.2 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.06y=9.6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.06 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=160$$

ทดแทน 160 สำหรับ y ใน 0.12x+0.06y=19.2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

คูณ 0.06 ด้วย 160

$$0.12x+9.6=19.2$$

ลบ 9.6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.12x=9.6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.12 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=80$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=80,y=160$$