แก้โจทย์ {l}{x+y=200}{x+1/2y=160}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } y = 160 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=120$$

$$y=80$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=200$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+200$$

ทดแทน -y+200 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+\frac{1}{2}y=160

$$-y+200+\frac{1}{2}y=160$$

เพิ่ม -y ไปยัง \frac{y}{2}

$$-\frac{1}{2}y+200=160$$

ลบ 200 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}y=-40$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=80$$

ทดแทน 80 สำหรับ y ใน x=-y+200 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-80+200$$

เพิ่ม 200 ไปยัง -80

$$x=120$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=120,y=80$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-200+2\times 160\\2\times 200-2\times 160\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\80\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=120,y=80$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

ลบ x+\frac{1}{2}y=160 จาก x+y=200 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+y-\frac{1}{2}y=200-160$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-\frac{1}{2}y=200-160$$

เพิ่ม y ไปยัง -\frac{y}{2}

$$\frac{1}{2}y=200-160$$

เพิ่ม 200 ไปยัง -160

$$\frac{1}{2}y=40$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=80$$

ทดแทน 80 สำหรับ y ใน x+\frac{1}{2}y=160 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+\frac{1}{2}\times 80=160$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 80

$$x+40=160$$

ลบ 40 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=120$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=120,y=80$$