แก้โจทย์ {l}{x+y=144}{10x+8y=1192}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=20$$

$$y=124$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=144$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+144$$

ทดแทน -y+144 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 10x+8y=1192

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

คูณ 10 ด้วย -y+144

$$-10y+1440+8y=1192$$

เพิ่ม -10y ไปยัง 8y

$$-2y+1440=1192$$

ลบ 1440 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-248$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=124$$

ทดแทน 124 สำหรับ y ใน x=-y+144 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-124+144$$

เพิ่ม 144 ไปยัง -124

$$x=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=20,y=124$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=20,y=124$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

เพื่อทำให้ x และ 10x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

ลบ 10x+8y=1192 จาก 10x+10y=1440 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-8y=1440-1192$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -8y

$$2y=1440-1192$$

เพิ่ม 1440 ไปยัง -1192

$$2y=248$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=124$$

ทดแทน 124 สำหรับ y ใน 10x+8y=1192 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$10x+8\times 124=1192$$

คูณ 8 ด้วย 124

$$10x+992=1192$$

ลบ 992 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10x=200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=20,y=124$$