แก้โจทย์ {l}{x+y=140}{0.2x+0.45y=49}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { 0.2 x + 0.45 y = 49 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=56$$

$$y=84$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=140$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+140$$

ทดแทน -y+140 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.2x+0.45y=49

$$0.2\left(-y+140\right)+0.45y=49$$

คูณ 0.2 ด้วย -y+140

$$-0.2y+28+0.45y=49$$

เพิ่ม -\frac{y}{5} ไปยัง \frac{9y}{20}

$$0.25y+28=49$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.25y=21$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=84$$

ทดแทน 84 สำหรับ y ใน x=-y+140 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-84+140$$

เพิ่ม 140 ไปยัง -84

$$x=56$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=56,y=84$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.45}{0.45-0.2}&-\frac{1}{0.45-0.2}\\-\frac{0.2}{0.45-0.2}&\frac{1}{0.45-0.2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8&-4\\-0.8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\times 140-4\times 49\\-0.8\times 140+4\times 49\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\84\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=56,y=84$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.2x+0.2y=0.2\times 140,0.2x+0.45y=49$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.2x+0.2y=28,0.2x+0.45y=49$$

ลบ 0.2x+0.45y=49 จาก 0.2x+0.2y=28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.2x-0.2x+0.2y-0.45y=28-49$$

เพิ่ม \frac{x}{5} ไปยัง -\frac{x}{5} ตัดพจน์ \frac{x}{5} และ -\frac{x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.2y-0.45y=28-49$$

เพิ่ม \frac{y}{5} ไปยัง -\frac{9y}{20}

$$-0.25y=28-49$$

เพิ่ม 28 ไปยัง -49

$$-0.25y=-21$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=84$$

ทดแทน 84 สำหรับ y ใน 0.2x+0.45y=49 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.2x+0.45\times 84=49$$

คูณ 0.45 ด้วย 84

$$0.2x+37.8=49$$

ลบ 37.8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.2x=11.2$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=56$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=56,y=84$$