แก้โจทย์ {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=637$$

$$y=-537$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=100,60x+70y=630$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=100$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+100$$

ทดแทน -y+100 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 60x+70y=630

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

คูณ 60 ด้วย -y+100

$$-60y+6000+70y=630$$

เพิ่ม -60y ไปยัง 70y

$$10y+6000=630$$

ลบ 6000 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10y=-5370$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-537$$

ทดแทน -537 สำหรับ y ใน x=-y+100 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-537\right)+100$$

คูณ -1 ด้วย -537

$$x=537+100$$

เพิ่ม 100 ไปยัง 537

$$x=637$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=637,y=-537$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=100,60x+70y=630$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=637,y=-537$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=100,60x+70y=630$$

เพื่อทำให้ x และ 60x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 60 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

ลบ 60x+70y=630 จาก 60x+60y=6000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

เพิ่ม 60x ไปยัง -60x ตัดพจน์ 60x และ -60x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$60y-70y=6000-630$$

เพิ่ม 60y ไปยัง -70y

$$-10y=6000-630$$

เพิ่ม 6000 ไปยัง -630

$$-10y=5370$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=-537$$

ทดแทน -537 สำหรับ y ใน 60x+70y=630 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

คูณ 70 ด้วย -537

$$60x-37590=630$$

เพิ่ม 37590 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$60x=38220$$

หารทั้งสองข้างด้วย 60

$$x=637$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=637,y=-537$$