แก้โจทย์ {l}{x+6y=19}{2x+2y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 19 } \\ { 2 x + 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+6y=19$$

ลบ 6y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-6y+19$$

ทดแทน -6y+19 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+2y=18

$$2\left(-6y+19\right)+2y=18$$

คูณ 2 ด้วย -6y+19

$$-12y+38+2y=18$$

เพิ่ม -12y ไปยัง 2y

$$-10y+38=18$$

ลบ 38 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-6y+19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-6\times 2+19$$

คูณ -6 ด้วย 2

$$x=-12+19$$

เพิ่ม 19 ไปยัง -12

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6\times 2}&-\frac{6}{2-6\times 2}\\-\frac{2}{2-6\times 2}&\frac{1}{2-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 19+\frac{3}{5}\times 18\\\frac{1}{5}\times 19-\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\times 6y=2\times 19,2x+2y=18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+12y=38,2x+2y=18$$

ลบ 2x+2y=18 จาก 2x+12y=38 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+12y-2y=38-18$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-2y=38-18$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -2y

$$10y=38-18$$

เพิ่ม 38 ไปยัง -18

$$10y=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x+2y=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+2\times 2=18$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$2x+4=18$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=2$$