แก้โจทย์ {l}{x+5y=19}{-x-2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 19 } \\ { - x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-6$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+5y=19,-x-2y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+5y=19$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-5y+19$$

ทดแทน -5y+19 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x-2y=-4

$$-\left(-5y+19\right)-2y=-4$$

คูณ -1 ด้วย -5y+19

$$5y-19-2y=-4$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -2y

$$3y-19=-4$$

เพิ่ม 19 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-5y+19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-5\times 5+19$$

คูณ -5 ด้วย 5

$$x=-25+19$$

เพิ่ม 19 ไปยัง -25

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+5y=19,-x-2y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{-2-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2-5\left(-1\right)}&\frac{1}{-2-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 19-\frac{5}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}\times 19+\frac{1}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-6,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+5y=19,-x-2y=-4$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-5y=-19,-x-2y=-4$$

ลบ -x-2y=-4 จาก -x-5y=-19 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x-5y+2y=-19+4$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5y+2y=-19+4$$

เพิ่ม -5y ไปยัง 2y

$$-3y=-19+4$$

เพิ่ม -19 ไปยัง 4

$$-3y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน -x-2y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x-2\times 5=-4$$

คูณ -2 ด้วย 5

$$-x-10=-4$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=5$$