แก้โจทย์ {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+5-3y=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-3y=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2-2x=0$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$y-2x=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-3y=-5$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3y-5$$

ทดแทน 3y-5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=2

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

คูณ -2 ด้วย 3y-5

$$-6y+10+y=2$$

เพิ่ม -6y ไปยัง y

$$-5y+10=2$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=\frac{8}{5}$$

ทดแทน \frac{8}{5} สำหรับ y ใน x=3y-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

คูณ 3 ด้วย \frac{8}{5}

$$x=\frac{24}{5}-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง \frac{24}{5}

$$x=-\frac{1}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+5-3y=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-3y=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2-2x=0$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$y-2x=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+5-3y=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-3y=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2-2x=0$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$y-2x=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

เพื่อทำให้ x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

ลบ -2x+y=2 จาก -2x+6y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-y=10-2$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -y

$$5y=10-2$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -2

$$5y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=\frac{8}{5}$$

ทดแทน \frac{8}{5} สำหรับ y ใน -2x+y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

ลบ \frac{8}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=\frac{2}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$