แก้โจทย์ {l}{x+3=2y+1}{2x-1=y+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = 2 y + 1 } \\ { 2 x - 1 = y + 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x+3-2y=1$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$x-2y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-1-y=1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=1+1$$

เพิ่ม 1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 2

$$2x-y=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=-2$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y-2$$

ทดแทน -2+2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=2

$$2\left(2y-2\right)-y=2$$

คูณ 2 ด้วย -2+2y

$$4y-4-y=2$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -y

$$3y-4=2$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=2y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times 2-2$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=4-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 4

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x+3-2y=1$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$x-2y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-1-y=1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=1+1$$

เพิ่ม 1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 2

$$2x-y=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x+3-2y=1$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$x-2y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-1-y=1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=1+1$$

เพิ่ม 1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 2

$$2x-y=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-2\right),2x-y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-4y=-4,2x-y=2$$

ลบ 2x-y=2 จาก 2x-4y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-4y+y=-4-2$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y+y=-4-2$$

เพิ่ม -4y ไปยัง y

$$-3y=-4-2$$

เพิ่ม -4 ไปยัง -2

$$-3y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x-y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-2=2$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=2$$