แก้โจทย์ {l}{x+2y=y-x}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = y - x } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x+2y-y=-x$$

รวม 2y และ -y เพื่อให้ได้รับ y

$$x+y=-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$x+y+x=0$$

รวม x และ x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=0,x+y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=0$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y

$$x=-\frac{1}{2}y$$

ทดแทน -\frac{y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=0

$$-\frac{1}{2}y+y=0$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง y

$$\frac{1}{2}y=0$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x+2y-y=-x$$

รวม 2y และ -y เพื่อให้ได้รับ y

$$x+y=-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$x+y+x=0$$

รวม x และ x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=0,x+y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x+2y-y=-x$$

รวม 2y และ -y เพื่อให้ได้รับ y

$$x+y=-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$x+y+x=0$$

รวม x และ x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=0,x+y=0$$

ลบ x+y=0 จาก 2x+y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-x+y-y=0$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-x=0$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -x

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน x+y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=0$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=0,y=0$$