แก้โจทย์ {l}{x+2y=4}{y=2x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { y = 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=7$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=4$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+4$$

ทดแทน -2y+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=7

$$-2\left(-2y+4\right)+y=7$$

คูณ -2 ด้วย -2y+4

$$4y-8+y=7$$

เพิ่ม 4y ไปยัง y

$$5y-8=7$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-2y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times 3+4$$

คูณ -2 ด้วย 3

$$x=-6+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -6

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=7$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=7$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

เพื่อทำให้ x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-4y=-8,-2x+y=7$$

ลบ -2x+y=7 จาก -2x-4y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-4y-y=-8-7$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-y=-8-7$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -y

$$-5y=-8-7$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -7

$$-5y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน -2x+y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+3=7$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=3$$