แก้โจทย์ {l}{x+2y=4+3}{-x-y=278-1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 + 3 } \\ { - x - y = 278 - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-561$$

$$y=284$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=7,-x-y=277$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=7$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+7$$

ทดแทน -2y+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x-y=277

$$-\left(-2y+7\right)-y=277$$

คูณ -1 ด้วย -2y+7

$$2y-7-y=277$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -y

$$y-7=277$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=284$$

ทดแทน 284 สำหรับ y ใน x=-2y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times 284+7$$

คูณ -2 ด้วย 284

$$x=-568+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -568

$$x=-561$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-561,y=284$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=7,-x-y=277$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{-1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{-1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7-2\times 277\\7+277\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-561\\284\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-561,y=284$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=7,-x-y=277$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-2y=-7,-x-y=277$$

ลบ -x-y=277 จาก -x-2y=-7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x-2y+y=-7-277$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+y=-7-277$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y=-7-277$$

เพิ่ม -7 ไปยัง -277

$$-y=-284$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=284$$

ทดแทน 284 สำหรับ y ใน -x-y=277 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x-284=277$$

เพิ่ม 284 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=561$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-561$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-561,y=284$$