แก้โจทย์ {l}{x+2y=3}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=3,5x-y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=3$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+3$$

ทดแทน -2y+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=10

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

คูณ 5 ด้วย -2y+3

$$-10y+15-y=10$$

เพิ่ม -10y ไปยัง -y

$$-11y+15=10$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11y=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=\frac{5}{11}$$

ทดแทน \frac{5}{11} สำหรับ y ใน x=-2y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

คูณ -2 ด้วย \frac{5}{11}

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -\frac{10}{11}

$$x=\frac{23}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=3,5x-y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=3,5x-y=10$$

เพื่อทำให้ x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

ลบ 5x-y=10 จาก 5x+10y=15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y+y=15-10$$

เพิ่ม 10y ไปยัง y

$$11y=15-10$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -10

$$11y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=\frac{5}{11}$$

ทดแทน \frac{5}{11} สำหรับ y ใน 5x-y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

เพิ่ม \frac{5}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{115}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{23}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$