แก้โจทย์ {l}{x+2y=16}{2x+3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 16 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-14$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=16$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+16$$

ทดแทน -2y+16 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=17

$$2\left(-2y+16\right)+3y=17$$

คูณ 2 ด้วย -2y+16

$$-4y+32+3y=17$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 3y

$$-y+32=17$$

ลบ 32 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน x=-2y+16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times 15+16$$

คูณ -2 ด้วย 15

$$x=-30+16$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -30

$$x=-14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-14,y=15$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 16+2\times 17\\2\times 16-17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\15\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-14,y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\times 2y=2\times 16,2x+3y=17$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+4y=32,2x+3y=17$$

ลบ 2x+3y=17 จาก 2x+4y=32 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+4y-3y=32-17$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-3y=32-17$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -3y

$$y=32-17$$

เพิ่ม 32 ไปยัง -17

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน 2x+3y=17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\times 15=17$$

คูณ 3 ด้วย 15

$$2x+45=17$$

ลบ 45 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-14,y=15$$