แก้โจทย์ {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=1$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+1$$

ทดแทน -2y+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x+y=-5

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

คูณ -4 ด้วย -2y+1

$$8y-4+y=-5$$

เพิ่ม 8y ไปยัง y

$$9y-4=-5$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=-\frac{1}{9}$$

ทดแทน -\frac{1}{9} สำหรับ y ใน x=-2y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{1}{9}

$$x=\frac{2}{9}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง \frac{2}{9}

$$x=\frac{11}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

เพื่อทำให้ x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

ลบ -4x+y=-5 จาก -4x-8y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y-y=-4+5$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -y

$$-9y=-4+5$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 5

$$-9y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=-\frac{1}{9}$$

ทดแทน -\frac{1}{9} สำหรับ y ใน -4x+y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

เพิ่ม \frac{1}{9} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=\frac{11}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$