แก้โจทย์ {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x+2y=-3$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y-3$$

ทดแทน -2y-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+5y+6=0

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

คูณ 4 ด้วย -2y-3

$$-8y-12+5y+6=0$$

เพิ่ม -8y ไปยัง 5y

$$-3y-12+6=0$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 6

$$-3y-6=0$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-2y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

คูณ -2 ด้วย -2

$$x=4-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 4

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

ลบ 4x+5y+6=0 จาก 4x+8y+12=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y-5y+12-6=0$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -5y

$$3y+12-6=0$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -6

$$3y+6=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 4x+5y+6=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

คูณ 5 ด้วย -2

$$4x-10+6=0$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 6

$$4x-4=0$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-2$$