แก้โจทย์ {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ p โดยแยก p ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$p+2q=4$$

ลบ 2q จากทั้งสองข้างของสมการ

$$p=-2q+4$$

ทดแทน -2q+4 สำหรับ p ในอีกสมการหนึ่ง -3p+4q=18

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

คูณ -3 ด้วย -2q+4

$$6q-12+4q=18$$

เพิ่ม 6q ไปยัง 4q

$$10q-12=18$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$10q=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$q=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ q ใน p=-2q+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$p=-2\times 3+4$$

คูณ -2 ด้วย 3

$$p=-6+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -6

$$p=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=-2,q=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ p และ q

$$p=-2,q=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

เพื่อทำให้ p และ -3p เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

ลบ -3p+4q=18 จาก -3p-6q=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

เพิ่ม -3p ไปยัง 3p ตัดพจน์ -3p และ 3p ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6q-4q=-12-18$$

เพิ่ม -6q ไปยัง -4q

$$-10q=-12-18$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -18

$$-10q=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$q=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ q ใน -3p+4q=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$-3p+4\times 3=18$$

คูณ 4 ด้วย 3

$$-3p+12=18$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3p=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$p=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=-2,q=3$$