แก้โจทย์ {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า n, y

$$y=4$$

$$n=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$n+y=4,2n+3y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ n โดยแยก n ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$n+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n=-y+4$$

ทดแทน -y+4 สำหรับ n ในอีกสมการหนึ่ง 2n+3y=12

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

คูณ 2 ด้วย -y+4

$$-2y+8+3y=12$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 3y

$$y+8=12$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน n=-y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า n โดยตรงได้

$$n=-4+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -4

$$n=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$n=0,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$n+y=4,2n+3y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ n และ y

$$n=0,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$n+y=4,2n+3y=12$$

เพื่อทำให้ n และ 2n เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

ลบ 2n+3y=12 จาก 2n+2y=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

เพิ่ม 2n ไปยัง -2n ตัดพจน์ 2n และ -2n ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-3y=8-12$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -3y

$$-y=8-12$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -12

$$-y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 2n+3y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า n โดยตรงได้

$$2n+3\times 4=12$$

คูณ 3 ด้วย 4

$$2n+12=12$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2n=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$n=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$n=0,y=4$$