แก้โจทย์ {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$mx-y+1-3m=0$$

ลบ -3m+1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$mx-y=3m-1$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$mx=y+3m-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย m

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

คูณ \frac{1}{m} ด้วย y+3m-1

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

ทดแทน \frac{y-1+3m}{m} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+my-3m-1=0

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

เพิ่ม \frac{y}{m} ไปยัง my

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

เพิ่ม 3-\frac{1}{m} ไปยัง -3m-1

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

ลบ 2-\frac{1}{m}-3m จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

หารทั้งสองข้างด้วย m+\frac{1}{m}

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ทดแทน \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

คูณ \frac{1}{m} ด้วย \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

เพิ่ม 3-\frac{1}{m} ไปยัง \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

เพื่อทำให้ mx และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย m

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

ลบ mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 จาก mx-y+1-3m=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

เพิ่ม mx ไปยัง -mx ตัดพจน์ mx และ -mx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

เพิ่ม -y ไปยัง -m^{2}y

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

เพิ่ม -3m+1 ไปยัง m\left(3m+1\right)

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

ลบ -2m+1+3m^{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1-m^{2}

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

ทดแทน -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} สำหรับ y ใน x+my-3m-1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

คูณ m ด้วย -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

เพิ่ม -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} ไปยัง -3m-1

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

เพิ่ม \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$