แก้โจทย์ {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$m+n=1$$

ลบ n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$m=-n+1$$

ทดแทน -n+1 สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง -3m+2n=-2

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

คูณ -3 ด้วย -n+1

$$3n-3+2n=-2$$

เพิ่ม 3n ไปยัง 2n

$$5n-3=-2$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5n=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$n=\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{1}{5} สำหรับ n ใน m=-n+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -\frac{1}{5}

$$m=\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

เพื่อทำให้ m และ -3m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

ลบ -3m+2n=-2 จาก -3m-3n=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

เพิ่ม -3m ไปยัง 3m ตัดพจน์ -3m และ 3m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3n-2n=-3+2$$

เพิ่ม -3n ไปยัง -2n

$$-5n=-3+2$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 2

$$-5n=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$n=\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{1}{5} สำหรับ n ใน -3m+2n=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{1}{5}

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

ลบ \frac{2}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$m=\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$