แก้โจทย์ {l}{m+n=-1}{2n-3m=2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = - 1 } \\ { 2 n - 3 m = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$n=-\frac{1}{5}=-0.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$m+n=-1$$

ลบ n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$m=-n-1$$

ทดแทน -n-1 สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง -3m+2n=2

$$-3\left(-n-1\right)+2n=2$$

คูณ -3 ด้วย -n-1

$$3n+3+2n=2$$

เพิ่ม 3n ไปยัง 2n

$$5n+3=2$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5n=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$n=-\frac{1}{5}$$

ทดแทน -\frac{1}{5} สำหรับ n ใน m=-n-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=-\left(-\frac{1}{5}\right)-1$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{1}{5}

$$m=\frac{1}{5}-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{1}{5}

$$m=-\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

เพื่อทำให้ m และ -3m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3m-3n=-3\left(-1\right),-3m+2n=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3m-3n=3,-3m+2n=2$$

ลบ -3m+2n=2 จาก -3m-3n=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3m+3m-3n-2n=3-2$$

เพิ่ม -3m ไปยัง 3m ตัดพจน์ -3m และ 3m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3n-2n=3-2$$

เพิ่ม -3n ไปยัง -2n

$$-5n=3-2$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -2

$$-5n=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$n=-\frac{1}{5}$$

ทดแทน -\frac{1}{5} สำหรับ n ใน -3m+2n=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$-3m+2\left(-\frac{1}{5}\right)=2$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{1}{5}

$$-3m-\frac{2}{5}=2$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3m=\frac{12}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$m=-\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$