แก้โจทย์ {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$fx-y=7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$fy-9x=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$fx-y=7$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$fx=y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย f

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{f} ด้วย y+7

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

ทดแทน \frac{7+y}{f} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+fy=8

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

คูณ -9 ด้วย \frac{7+y}{f}

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

เพิ่ม -\frac{9y}{f} ไปยัง fy

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

เพิ่ม \frac{63}{f} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

หารทั้งสองข้างด้วย f-\frac{9}{f}

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ทดแทน \frac{63+8f}{f^{2}-9} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

คูณ \frac{1}{f} ด้วย \frac{63+8f}{f^{2}-9}

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

เพิ่ม \frac{7}{f} ไปยัง \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$fx-y=7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$fy-9x=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$fx-y=7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$fy-9x=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

เพื่อทำให้ fx และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย f

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

ลบ \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f จาก \left(-9f\right)x+9y=-63 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

เพิ่ม -9fx ไปยัง 9fx ตัดพจน์ -9fx และ 9fx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -f^{2}y

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

เพิ่ม -63 ไปยัง -8f

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

หารทั้งสองข้างด้วย -f^{2}+9

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ทดแทน -\frac{63+8f}{9-f^{2}} สำหรับ y ใน -9x+fy=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

คูณ f ด้วย -\frac{63+8f}{9-f^{2}}

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

เพิ่ม \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$fx-y=7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$fy-9x=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$fx-y=7$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$fx=y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย f

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{f} ด้วย y+7

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

ทดแทน \frac{7+y}{f} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+fy=8

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

คูณ -9 ด้วย \frac{7+y}{f}

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

เพิ่ม -\frac{9y}{f} ไปยัง fy

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

เพิ่ม \frac{63}{f} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

หารทั้งสองข้างด้วย f-\frac{9}{f}

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ทดแทน \frac{63+8f}{f^{2}-9} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

คูณ \frac{1}{f} ด้วย \frac{63+8f}{f^{2}-9}

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

เพิ่ม \frac{7}{f} ไปยัง \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$fx-y=7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$fy-9x=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$fx-y=7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$fy-9x=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

เพื่อทำให้ fx และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย f

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

ลบ \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f จาก \left(-9f\right)x+9y=-63 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

เพิ่ม -9fx ไปยัง 9fx ตัดพจน์ -9fx และ 9fx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -f^{2}y

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

เพิ่ม -63 ไปยัง -8f

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

หารทั้งสองข้างด้วย -f^{2}+9

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ทดแทน -\frac{63+8f}{9-f^{2}} สำหรับ y ใน -9x+fy=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

คูณ f ด้วย -\frac{63+8f}{9-f^{2}}

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

เพิ่ม \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$