แก้โจทย์ {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12bx-15y=-4$$

เพิ่ม 15y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12bx=15y-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12b

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

คูณ \frac{1}{12b} ด้วย 15y-4

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

ทดแทน \frac{-4+15y}{12b} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 16x+10y=7

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

คูณ 16 ด้วย \frac{-4+15y}{12b}

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

เพิ่ม \frac{20y}{b} ไปยัง 10y

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

เพิ่ม \frac{16}{3b} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

หารทั้งสองข้างด้วย \frac{20}{b}+10

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

ทดแทน \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

คูณ \frac{5}{4b} ด้วย \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3b} ไปยัง \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

เพื่อทำให้ 12bx และ 16x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 16 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 12b

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

ลบ 192bx+120by=84b จาก 192bx-240y=-64 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

เพิ่ม 192bx ไปยัง -192bx ตัดพจน์ 192bx และ -192bx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

เพิ่ม -240y ไปยัง -120by

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

เพิ่ม -64 ไปยัง -84b

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

หารทั้งสองข้างด้วย -240-120b

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

ทดแทน \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} สำหรับ y ใน 16x+10y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

คูณ 10 ด้วย \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

ลบ \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$