แก้โจทย์ {l}{a+2b=5}{a-2b=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 5 } \\ { a - 2 b = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=1$$

$$b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$a+2b=5,a-2b=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$a+2b=5$$

ลบ 2b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$a=-2b+5$$

ทดแทน -2b+5 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-2b=-3

$$-2b+5-2b=-3$$

เพิ่ม -2b ไปยัง -2b

$$-4b+5=-3$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4b=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a=-2b+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-2\times 2+5$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$a=-4+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -4

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$a+2b=5,a-2b=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=1,b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$a+2b=5,a-2b=-3$$

ลบ a-2b=-3 จาก a+2b=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$a-a+2b+2b=5+3$$

เพิ่ม a ไปยัง -a ตัดพจน์ a และ -a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2b+2b=5+3$$

เพิ่ม 2b ไปยัง 2b

$$4b=5+3$$

เพิ่ม 5 ไปยัง 3

$$4b=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a-2b=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a-2\times 2=-3$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$a-4=-3$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=2$$