แก้โจทย์ {l}{Cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { C x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29C\right)}{C-2}$$

$$C\neq 2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$Cx+y=69$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$Cx=-y+69$$

หารทั้งสองข้างด้วย C

$$x=\frac{1}{C}\left(-y+69\right)$$

คูณ \frac{1}{C} ด้วย -y+69

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}$$

ทดแทน \frac{69-y}{C} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=87

$$2\left(\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}\right)+y=87$$

คูณ 2 ด้วย \frac{69-y}{C}

$$\left(-\frac{2}{C}\right)y+\frac{138}{C}+y=87$$

เพิ่ม -\frac{2y}{C} ไปยัง y

$$\frac{C-2}{C}y+\frac{138}{C}=87$$

ลบ \frac{138}{C} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{C-2}{C}y=87-\frac{138}{C}$$

หารทั้งสองข้างด้วย \frac{-2+C}{C}

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ทดแทน \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)\times \frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}+\frac{69}{C}$$

คูณ -\frac{1}{C} ด้วย \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C}

$$x=-\frac{3\left(29C-46\right)}{C\left(C-2\right)}+\frac{69}{C}$$

เพิ่ม \frac{69}{C} ไปยัง -\frac{3\left(-46+29C\right)}{C\left(-2+C\right)}

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}&-\frac{1}{C-2}\\-\frac{2}{C-2}&\frac{C}{C-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}\times 69+\left(-\frac{1}{C-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{C-2}\right)\times 69+\frac{C}{C-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{C-2}\\\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

ลบ 2x+y=87 จาก Cx+y=69 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$Cx-2x+y-y=69-87$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$Cx-2x=69-87$$

เพิ่ม Cx ไปยัง -2x

$$\left(C-2\right)x=69-87$$

เพิ่ม 69 ไปยัง -87

$$\left(C-2\right)x=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย C-2

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

ทดแทน -\frac{18}{C-2} สำหรับ x ใน 2x+y=87 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2\left(-\frac{18}{C-2}\right)+y=87$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{18}{C-2}

$$-\frac{36}{C-2}+y=87$$

เพิ่ม \frac{36}{C-2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$