แก้โจทย์ {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$Ax+By=C$$

ลบ By จากทั้งสองข้างของสมการ

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

หารทั้งสองข้างด้วย A

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

คูณ \frac{1}{A} ด้วย -By+C

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

ทดแทน \frac{-By+C}{A} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง Dx+Cy=F

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

คูณ D ด้วย \frac{-By+C}{A}

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

เพิ่ม -\frac{DBy}{A} ไปยัง Cy

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

ลบ \frac{DC}{A} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

หารทั้งสองข้างด้วย C-\frac{DB}{A}

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

ทดแทน \frac{FA-DC}{CA-DB} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

คูณ -\frac{B}{A} ด้วย \frac{FA-DC}{CA-DB}

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

เพิ่ม \frac{C}{A} ไปยัง -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

เพื่อทำให้ Ax และ Dx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย D และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย A

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

ลบ ADx+ACy=AF จาก ADx+BDy=CD โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

เพิ่ม DAx ไปยัง -DAx ตัดพจน์ DAx และ -DAx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

เพิ่ม DBy ไปยัง -ACy

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

หารทั้งสองข้างด้วย DB-AC

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ทดแทน \frac{DC-AF}{DB-AC} สำหรับ y ใน Dx+Cy=F เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

คูณ C ด้วย \frac{DC-AF}{DB-AC}

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

ลบ \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

หารทั้งสองข้างด้วย D

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$