แก้โจทย์ {l}{A=90800+0.15B}{B=23600+0.2A}

$$\left. \begin{array} { l } { A = 90800 + 0.15 B } \\ { B = 23600 + 0.2 A } \end{array} \right.$$

หาค่า A, B

$$A = \frac{9434000}{97} = 97257\frac{71}{97} \approx 97257.731958763$$

$$B = \frac{4176000}{97} = 43051\frac{53}{97} \approx 43051.546391753$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 0.15B จากทั้งสองด้าน

$$A-0.15B=90800$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 0.2A จากทั้งสองด้าน

$$B-0.2A=23600$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ A โดยแยก A ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$A-0.15B=90800$$

เพิ่ม \frac{3B}{20} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$A=0.15B+90800$$

ทดแทน \frac{3B}{20}+90800 สำหรับ A ในอีกสมการหนึ่ง -0.2A+B=23600

$$-0.2\left(0.15B+90800\right)+B=23600$$

คูณ -0.2 ด้วย \frac{3B}{20}+90800

$$-0.03B-18160+B=23600$$

เพิ่ม -\frac{3B}{100} ไปยัง B

$$0.97B-18160=23600$$

เพิ่ม 18160 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.97B=41760$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.97 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$B=\frac{4176000}{97}$$

ทดแทน \frac{4176000}{97} สำหรับ B ใน A=0.15B+90800 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A=0.15\times \frac{4176000}{97}+90800$$

คูณ 0.15 ครั้ง \frac{4176000}{97} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$A=\frac{626400}{97}+90800$$

เพิ่ม 90800 ไปยัง \frac{626400}{97}

$$A=\frac{9434000}{97}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 0.15B จากทั้งสองด้าน

$$A-0.15B=90800$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 0.2A จากทั้งสองด้าน

$$B-0.2A=23600$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&-\frac{-0.15}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\\-\frac{-0.2}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}&\frac{15}{97}\\\frac{20}{97}&\frac{100}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}\times 90800+\frac{15}{97}\times 23600\\\frac{20}{97}\times 90800+\frac{100}{97}\times 23600\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9434000}{97}\\\frac{4176000}{97}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ A และ B

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 0.15B จากทั้งสองด้าน

$$A-0.15B=90800$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 0.2A จากทั้งสองด้าน

$$B-0.2A=23600$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

เพื่อทำให้ A และ -\frac{A}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -0.2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-0.2A-0.2\left(-0.15\right)B=-0.2\times 90800,-0.2A+B=23600$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-0.2A+0.03B=-18160,-0.2A+B=23600$$

ลบ -0.2A+B=23600 จาก -0.2A+0.03B=-18160 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.2A+0.2A+0.03B-B=-18160-23600$$

เพิ่ม -\frac{A}{5} ไปยัง \frac{A}{5} ตัดพจน์ -\frac{A}{5} และ \frac{A}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.03B-B=-18160-23600$$

เพิ่ม \frac{3B}{100} ไปยัง -B

$$-0.97B=-18160-23600$$

เพิ่ม -18160 ไปยัง -23600

$$-0.97B=-41760$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.97 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$B=\frac{4176000}{97}$$

ทดแทน \frac{4176000}{97} สำหรับ B ใน -0.2A+B=23600 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$-0.2A+\frac{4176000}{97}=23600$$

ลบ \frac{4176000}{97} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.2A=-\frac{1886800}{97}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -5

$$A=\frac{9434000}{97}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$