แก้โจทย์ {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า A, B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ A โดยแยก A ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$A+B+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$A+B=-1$$

ลบ B จากทั้งสองข้างของสมการ

$$A=-B-1$$

ทดแทน -B-1 สำหรับ A ในอีกสมการหนึ่ง A-2B=3

$$-B-1-2B=3$$

เพิ่ม -B ไปยัง -2B

$$-3B-1=3$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3B=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$B=-\frac{4}{3}$$

ทดแทน -\frac{4}{3} สำหรับ B ใน A=-B-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{4}{3}

$$A=\frac{4}{3}-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{4}{3}

$$A=\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ A และ B

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

ลบ A-2B=3 จาก A+B+1=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$A-A+B+2B+1=-3$$

เพิ่ม A ไปยัง -A ตัดพจน์ A และ -A ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$B+2B+1=-3$$

เพิ่ม B ไปยัง 2B

$$3B+1=-3$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3B=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$B=-\frac{4}{3}$$

ทดแทน -\frac{4}{3} สำหรับ B ใน A-2B=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{4}{3}

$$A+\frac{8}{3}=3$$

ลบ \frac{8}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$A=\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$