แก้โจทย์ {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x-3y-13=0$$

เพิ่ม 13 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9x-3y=13$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=3y+13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย 3y+13

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

ทดแทน \frac{y}{3}+\frac{13}{9} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y-4=0

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

คูณ 2 ด้วย \frac{y}{3}+\frac{13}{9}

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง y

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

เพิ่ม \frac{26}{9} ไปยัง -4

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

เพิ่ม \frac{10}{9} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{2}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

คูณ \frac{1}{3} ครั้ง \frac{2}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2+13}{9}$$

เพิ่ม \frac{13}{9} ไปยัง \frac{2}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{3}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

เพื่อทำให้ 9x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

ลบ 18x+9y-36=0 จาก 18x-6y-26=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y-9y-26+36=0$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -9y

$$-15y-26+36=0$$

เพิ่ม -26 ไปยัง 36

$$-15y+10=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-15y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{2}{3} สำหรับ y ใน 2x+y-4=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง -4

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

เพิ่ม \frac{10}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{10}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{5}{3}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$