แก้โจทย์ {l}{9x+9y=18}{11x+9y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 9 y = 18 } \\ { 11 x + 9 y = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x+9y=18$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=-9y+18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(-9y+18\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -9y+18

$$x=-y+2$$

ทดแทน -y+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 11x+9y=16

$$11\left(-y+2\right)+9y=16$$

คูณ 11 ด้วย -y+2

$$-11y+22+9y=16$$

เพิ่ม -11y ไปยัง 9y

$$-2y+22=16$$

ลบ 22 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -3

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-9\times 11}&-\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\\-\frac{11}{9\times 9-9\times 11}&\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{11}{18}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\times 16\\\frac{11}{18}\times 18-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

ลบ 11x+9y=16 จาก 9x+9y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x-11x+9y-9y=18-16$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -9y ตัดพจน์ 9y และ -9y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9x-11x=18-16$$

เพิ่ม 9x ไปยัง -11x

$$-2x=18-16$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -16

$$-2x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน 11x+9y=16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$11\left(-1\right)+9y=16$$

คูณ 11 ด้วย -1

$$-11+9y=16$$

เพิ่ม 11 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=27$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=3$$