แก้โจทย์ {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x+7y=6$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=-7y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -7y+6

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

ทดแทน -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+3y=9

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

เพิ่ม -\frac{56y}{9} ไปยัง 3y

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

ลบ \frac{16}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{29}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{33}{29}$$

ทดแทน -\frac{33}{29} สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

คูณ -\frac{7}{9} ครั้ง -\frac{33}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง \frac{77}{87} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{45}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

เพื่อทำให้ 9x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

ลบ 72x+27y=81 จาก 72x+56y=48 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

เพิ่ม 72x ไปยัง -72x ตัดพจน์ 72x และ -72x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$56y-27y=48-81$$

เพิ่ม 56y ไปยัง -27y

$$29y=48-81$$

เพิ่ม 48 ไปยัง -81

$$29y=-33$$

หารทั้งสองข้างด้วย 29

$$y=-\frac{33}{29}$$

ทดแทน -\frac{33}{29} สำหรับ y ใน 8x+3y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{33}{29}

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

เพิ่ม \frac{99}{29} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=\frac{360}{29}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{45}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$