แก้โจทย์ {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x+13y=9$$

ลบ 13y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=-13y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -13y+9

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

ทดแทน -\frac{13y}{9}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=11

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{13y}{9}+1

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

เพิ่ม -\frac{26y}{9} ไปยัง y

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{17}{9}y=9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{17}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{81}{17}$$

ทดแทน -\frac{81}{17} สำหรับ y ใน x=-\frac{13}{9}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

คูณ -\frac{13}{9} ครั้ง -\frac{81}{17} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{117}{17}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง \frac{117}{17}

$$x=\frac{134}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

เพื่อทำให้ 9x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

ลบ 18x+9y=99 จาก 18x+26y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$26y-9y=18-99$$

เพิ่ม 26y ไปยัง -9y

$$17y=18-99$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -99

$$17y=-81$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$y=-\frac{81}{17}$$

ทดแทน -\frac{81}{17} สำหรับ y ใน 2x+y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

เพิ่ม \frac{81}{17} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{268}{17}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{134}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$