แก้โจทย์ {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า v, w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ v โดยแยก v ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9v+2w=7$$

ลบ 2w จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9v=-2w+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -2w+7

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

ทดแทน \frac{-2w+7}{9} สำหรับ v ในอีกสมการหนึ่ง 3v-8w=-2

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-2w+7}{9}

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

เพิ่ม -\frac{2w}{3} ไปยัง -8w

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

ลบ \frac{7}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{26}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$w=\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{1}{2} สำหรับ w ใน v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า v โดยตรงได้

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

คูณ -\frac{2}{9} ครั้ง \frac{1}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

เพิ่ม \frac{7}{9} ไปยัง -\frac{1}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$v=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ v และ w

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

เพื่อทำให้ 9v และ 3v เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

ลบ 27v-72w=-18 จาก 27v+6w=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

เพิ่ม 27v ไปยัง -27v ตัดพจน์ 27v และ -27v ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6w+72w=21+18$$

เพิ่ม 6w ไปยัง 72w

$$78w=21+18$$

เพิ่ม 21 ไปยัง 18

$$78w=39$$

หารทั้งสองข้างด้วย 78

$$w=\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{1}{2} สำหรับ w ใน 3v-8w=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า v โดยตรงได้

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

คูณ -8 ด้วย \frac{1}{2}

$$3v-4=-2$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3v=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$v=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$