แก้โจทย์ {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=7$$

$$n=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9m+6n=123$$

ลบ 6n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9m=-6n+123$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -6n+123

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

ทดแทน \frac{-2n+41}{3} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง 9m+5n=113

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

คูณ 9 ด้วย \frac{-2n+41}{3}

$$-6n+123+5n=113$$

เพิ่ม -6n ไปยัง 5n

$$-n+123=113$$

ลบ 123 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-n=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$n=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ n ใน m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ด้วย 10

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

เพิ่ม \frac{41}{3} ไปยัง -\frac{20}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=7,n=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=7,n=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

ลบ 9m+5n=113 จาก 9m+6n=123 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

เพิ่ม 9m ไปยัง -9m ตัดพจน์ 9m และ -9m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6n-5n=123-113$$

เพิ่ม 6n ไปยัง -5n

$$n=123-113$$

เพิ่ม 123 ไปยัง -113

$$n=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ n ใน 9m+5n=113 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$9m+5\times 10=113$$

คูณ 5 ด้วย 10

$$9m+50=113$$

ลบ 50 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9m=63$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$m=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=7,n=10$$