แก้โจทย์ {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$80x+160y=4$$

ลบ 160y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$80x=-160y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 80

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{80} ด้วย -160y+4

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

ทดแทน -2y+\frac{1}{20} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+3y=0.1

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 3y

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

ลบ \frac{1}{20} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{1}{20}$$

ทดแทน \frac{1}{20} สำหรับ y ใน x=-2y+\frac{1}{20} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

คูณ -2 ด้วย \frac{1}{20}

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

เพิ่ม \frac{1}{20} ไปยัง -\frac{1}{10} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{20}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

เพื่อทำให้ 80x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 80

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

ลบ 80x+240y=8 จาก 80x+160y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

เพิ่ม 80x ไปยัง -80x ตัดพจน์ 80x และ -80x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$160y-240y=4-8$$

เพิ่ม 160y ไปยัง -240y

$$-80y=4-8$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -8

$$-80y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -80

$$y=\frac{1}{20}$$

ทดแทน \frac{1}{20} สำหรับ y ใน x+3y=0.1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

คูณ 3 ด้วย \frac{1}{20}

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

ลบ \frac{3}{20} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{1}{20}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$