แก้โจทย์ {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$80x+160y=4$$

ลบ 160y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$80x=-160y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 80

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{80} ด้วย -160y+4

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

ทดแทน -2y+\frac{1}{20} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5600x+5600y=5536

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

คูณ 5600 ด้วย -2y+\frac{1}{20}

$$-11200y+280+5600y=5536$$

เพิ่ม -11200y ไปยัง 5600y

$$-5600y+280=5536$$

ลบ 280 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5600y=5256$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5600

$$y=-\frac{657}{700}$$

ทดแทน -\frac{657}{700} สำหรับ y ใน x=-2y+\frac{1}{20} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{657}{700}

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

เพิ่ม \frac{1}{20} ไปยัง \frac{657}{350} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1349}{700}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

เพื่อทำให้ 80x และ 5600x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5600 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 80

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

ลบ 448000x+448000y=442880 จาก 448000x+896000y=22400 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

เพิ่ม 448000x ไปยัง -448000x ตัดพจน์ 448000x และ -448000x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$896000y-448000y=22400-442880$$

เพิ่ม 896000y ไปยัง -448000y

$$448000y=22400-442880$$

เพิ่ม 22400 ไปยัง -442880

$$448000y=-420480$$

หารทั้งสองข้างด้วย 448000

$$y=-\frac{657}{700}$$

ทดแทน -\frac{657}{700} สำหรับ y ใน 5600x+5600y=5536 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

คูณ 5600 ด้วย -\frac{657}{700}

$$5600x-5256=5536$$

เพิ่ม 5256 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5600x=10792$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5600

$$x=\frac{1349}{700}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$