แก้โจทย์ {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8y+x=7$$

ลบ x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=-x+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -x+7

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

ทดแทน \frac{-x+7}{8} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 7y+8x=16

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

คูณ 7 ด้วย \frac{-x+7}{8}

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

เพิ่ม -\frac{7x}{8} ไปยัง 8x

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

ลบ \frac{49}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{57}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{79}{57}$$

ทดแทน \frac{79}{57} สำหรับ x ใน y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

คูณ -\frac{1}{8} ครั้ง \frac{79}{57} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

เพิ่ม \frac{7}{8} ไปยัง -\frac{79}{456} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{40}{57}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

เพื่อทำให้ 8y และ 7y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

ลบ 56y+64x=128 จาก 56y+7x=49 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

เพิ่ม 56y ไปยัง -56y ตัดพจน์ 56y และ -56y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7x-64x=49-128$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -64x

$$-57x=49-128$$

เพิ่ม 49 ไปยัง -128

$$-57x=-79$$

หารทั้งสองข้างด้วย -57

$$x=\frac{79}{57}$$

ทดแทน \frac{79}{57} สำหรับ x ใน 7y+8x=16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

คูณ 8 ด้วย \frac{79}{57}

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

ลบ \frac{632}{57} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=\frac{280}{57}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=\frac{40}{57}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$