แก้โจทย์ {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-9y=15$$

เพิ่ม 9y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=9y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย 9y+15

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

ทดแทน \frac{9y+15}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+3y=9

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

คูณ -5 ด้วย \frac{9y+15}{8}

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

เพิ่ม -\frac{45y}{8} ไปยัง 3y

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

เพิ่ม \frac{75}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{21}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-7$$

ทดแทน -7 สำหรับ y ใน x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

คูณ \frac{9}{8} ด้วย -7

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

เพิ่ม \frac{15}{8} ไปยัง -\frac{63}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=-7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-6,y=-7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

เพื่อทำให้ 8x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

ลบ -40x+24y=72 จาก -40x+45y=-75 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

เพิ่ม -40x ไปยัง 40x ตัดพจน์ -40x และ 40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$45y-24y=-75-72$$

เพิ่ม 45y ไปยัง -24y

$$21y=-75-72$$

เพิ่ม -75 ไปยัง -72

$$21y=-147$$

หารทั้งสองข้างด้วย 21

$$y=-7$$

ทดแทน -7 สำหรับ y ใน -5x+3y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

คูณ 3 ด้วย -7

$$-5x-21=9$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=-7$$