แก้โจทย์ {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$8x-5y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

หาร -10 ด้วย 5 เพื่อรับ -2

$$y-3x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-5y=3$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=5y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย 5y+3

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

ทดแทน \frac{5y+3}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+y=-2

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

คูณ -3 ด้วย \frac{5y+3}{8}

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

เพิ่ม -\frac{15y}{8} ไปยัง y

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

เพิ่ม \frac{9}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5+3}{8}$$

เพิ่ม \frac{3}{8} ไปยัง \frac{5}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$8x-5y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

หาร -10 ด้วย 5 เพื่อรับ -2

$$y-3x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$8x-5y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

หาร -10 ด้วย 5 เพื่อรับ -2

$$y-3x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

เพื่อทำให้ 8x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

ลบ -24x+8y=-16 จาก -24x+15y=-9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

เพิ่ม -24x ไปยัง 24x ตัดพจน์ -24x และ 24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y-8y=-9+16$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -8y

$$7y=-9+16$$

เพิ่ม -9 ไปยัง 16

$$7y=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน -3x+y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+1=-2$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$