แก้โจทย์ {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-5y=10$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=5y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย 10+5y

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

ทดแทน \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-4y=11

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

คูณ 6 ด้วย \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

เพิ่ม \frac{15y}{4} ไปยัง -4y

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

ลบ \frac{15}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-14$$

ทดแทน -14 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

คูณ \frac{5}{8} ด้วย -14

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

เพิ่ม \frac{5}{4} ไปยัง -\frac{35}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{15}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

เพื่อทำให้ 8x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

ลบ 48x-32y=88 จาก 48x-30y=60 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

เพิ่ม 48x ไปยัง -48x ตัดพจน์ 48x และ -48x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30y+32y=60-88$$

เพิ่ม -30y ไปยัง 32y

$$2y=60-88$$

เพิ่ม 60 ไปยัง -88

$$2y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-14$$

ทดแทน -14 สำหรับ y ใน 6x-4y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

คูณ -4 ด้วย -14

$$6x+56=11$$

ลบ 56 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-\frac{15}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$