แก้โจทย์ {l}{8x+y=0}{2x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 0 } \\ { 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y = -\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5} = -3.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+y=0,2x-y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+y=0$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-1\right)y$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -y

$$x=-\frac{1}{8}y$$

ทดแทน -\frac{y}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=4

$$2\left(-\frac{1}{8}\right)y-y=4$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{y}{8}

$$-\frac{1}{4}y-y=4$$

เพิ่ม -\frac{y}{4} ไปยัง -y

$$-\frac{5}{4}y=4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{16}{5}$$

ทดแทน -\frac{16}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{8}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{16}{5}\right)$$

คูณ -\frac{1}{8} ครั้ง -\frac{16}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{16}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+y=0,2x-y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{8\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{8\left(-1\right)-2}&\frac{8}{8\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 4\\-\frac{4}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{16}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+y=0,2x-y=4$$

เพื่อทำให้ 8x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$2\times 8x+2y=0,8\times 2x+8\left(-1\right)y=8\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$16x+2y=0,16x-8y=32$$

ลบ 16x-8y=32 จาก 16x+2y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-16x+2y+8y=-32$$

เพิ่ม 16x ไปยัง -16x ตัดพจน์ 16x และ -16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+8y=-32$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 8y

$$10y=-32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-\frac{16}{5}$$

ทดแทน -\frac{16}{5} สำหรับ y ใน 2x-y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\left(-\frac{16}{5}\right)=4$$

ลบ \frac{16}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{4}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{2}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{16}{5}$$